Con disequazioni di secondo grado si intendono disequazioni in una variabile, in cui il termine di grado massimo è il quadrato di quella variabile.
Una disequazione di secondo grado ha la forma generale:
ax^2 + bx + c < 0 o ax^2 + bx + c > 0
dove “a”, “b” e “c” sono coefficienti reali e “x” è la variabile.
Le disequazioni di secondo grado possono essere risolte attraverso diverse strategie.
Una delle principali consiste nel trasformare la disequazione in un’equazione e trovare i punti critici, ovvero i punti in cui l’equazione è uguale a zero.
In seguito, viene effettuato uno studio del segno del polinomio di secondo grado tra i punti critici.
In base al segno del polinomio, si determina l’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta.
La soluzione di una disequazione di secondo grado può essere rappresentata in maniera grafica su un’asse cartesiano, sottolineando gli intervalli in cui la disequazione è vera.
È utile notare che le disequazioni di secondo grado possono avere soluzioni reali o complesse, a seconda del discriminante Δ = b^2 – 4ac.
Se Δ > 0, la disequazione ha due soluzioni reali.
Se Δ = 0, la disequazione ha una soluzione reale doppia.
Se Δ < 0, la disequazione non ha soluzioni reali, ma soluzioni complesse coniugate.
Le disequazioni di secondo grado trovano applicazione in diversi ambiti, come l’analisi matematica, la fisica e l’economia, per modellare e risolvere problemi che implicano relazioni quadratiche.
Come si fanno le disequazioni di secondo grado?
Per risolvere una disequazione di secondo grado, è possibile seguire i seguenti passaggi:
- Portare tutti i termini al lato sinistro dell’equazione in modo che la disequazione sia espressa nella forma: ax^2 + bx + c < 0 o ax^2 + bx + c > 0;
- Semplificare la disequazione riducendo i termini simili;
- Determinare i punti critici, ovvero i punti in cui l’equazione associata alla disequazione è uguale a zero.
Questi punti possono essere trovati risolvendo l’equazione associata: ax^2 + bx + c = 0; - Attraverso una formula risolutiva per l’equazione di secondo grado, si ottengono due soluzioni reali o complesse (a seconda del discriminante Δ);
- Disegnare una tabella dei segni per il polinomio di secondo grado (ax^2 + bx + c) utilizzando i punti critici trovati.
Per fare ciò, si vagliano gli intervalli determinati dai punti critici e si valuta il segno del polinomio in ciascun intervallo.
In alternativa, è possibile tracciare il grafico del polinomio; - Determinare gli intervalli in cui il polinomio assume un segno coerente con la disequazione data.
Per fare un esempio, se la disequazione è del tipo ax^2 + bx + c < 0, gli intervalli in cui il polinomio assume un valore negativo soddisfano la disequazione; - Esprimere la soluzione finale dell’equazione utilizzando la notazione degli intervalli.
Per esempio, se l’intervallo di soluzione è (a, b), significa che la variabile “x” assume valori compresi tra “a” e “b” inclusi.
È fondamentale tenere presente che i passaggi sopra descritti possono variare leggermente a seconda della specifica forma della disequazione di secondo grado e dei suoi coefficienti. Inoltre, è basilare considerare anche le eventuali restrizioni sull’intervallo di valori accettabili per la variabile “x” nel contesto del problema.
Quando una disequazione di secondo grado è sempre vera?
Una disequazione di secondo grado può essere sempre vera in due casi:
- Quando il coefficiente “a” è uguale a zero: se a = 0, la disequazione diventa una disequazione di primo grado, ad esempio bx + c < 0 o bx + c > 0.
In questo caso, la disequazione è vera per tutti i valori di “x” se il coefficiente “b” è diverso da zero.
Se “b” è uguale a zero, la disequazione sarà sempre falsa o sempre vera, a seconda del segno di “c”; - Quando la disequazione è del tipo 0 < 0 o 0 > 0: in questi casi, non esistono valori reali per “x” che soddisfino la disequazione. Quindi, la disequazione è sempre falsa.
Solitamente, una disequazione di secondo grado non sarà sempre vera a meno che non sia uno dei casi sopra citati.
La soluzione dipenderà dai valori dei coefficienti “a”, “b” e “c”, nonché dalla relazione tra la disequazione e il valore di “x”.
Come si risolve un sistema di equazioni di secondo grado?
Per risolvere un sistema di equazioni di secondo grado, cioè un sistema di due equazioni in due variabili, è possibile seguire i seguenti passaggi:
- Scrivere le due equazioni del sistema nella forma standard delle equazioni di secondo grado: ax^2 + bx + c = 0 dx^2 + ex + f = 0;
- Utilizzare una delle seguenti strategie di risoluzione:
- Metodo di sostituzione: Risolvere una delle equazioni rispetto ad una delle variabili e sostituire il risultato nell’altra equazione.
Questo ridurrà il sistema a un’equazione di secondo grado in una variabile, che può essere risolta utilizzando le tecniche tradizionali per risolvere equazioni di secondo grado. - Metodo di eliminazione: Moltiplicare entrambe le equazioni per i coefficienti appropriati in modo che i coefficienti di una delle variabili siano uguali (o opposti). Successivamente, sottrarre o sommare le due equazioni per eliminare quella variabile.
A questo punto, si otterrà un’equazione di secondo grado in una variabile, che può essere risolta. - Risolvere l’equazione di secondo grado ottenuta utilizzando le tecniche tradizionali come la formula risolutiva per l’equazione di secondo grado o il completamento del quadrato;
- Sostituire i valori delle variabili nella seconda equazione del sistema per trovare l’altro valore delle variabili;
- Verificare i risultati sostituendo i valori delle variabili nelle due equazioni originali del sistema per assicurarsi che siano soddisfatte entrambe.
È utile notare che un sistema di equazioni di secondo grado può avere nessuna soluzione, una soluzione unica o infinite soluzioni, a seconda delle relazioni tra le equazioni. In alcuni casi, le soluzioni possono essere complesse invece che reali.
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